Introduction aux ensembles usuels de nombres

Parmi les entiers naturels en maths, on distingue les entiers pairs et les entiers impairs. Bien sûr il y a une infinité de nombres pairs et de nombres impairs mais, peut-on comparer le nombre d’entiers pairs au nombre d’entiers ? La logique voudrait qu’il y ait deux fois plus d’entiers que d’entiers pairs ou impairs. Aussi, si pour corser les choses, on se demandait s’il y a plus ou moins de nombres entiers que de fractions, la réponse semble là aussi tranchée : il y aurait plus de fractions que d’entiers en maths.

Cependant, tous ses ensembles sont infinis et il semble difficile de comparer le nombre d’éléments que contiennent des ensembles infinis. Pour introduire les notions mathématiques qui vont suivre, nous devons définir des ensembles usuels de nombres qui nous serons fort utiles.

L'infini en mathématiques

On dispose naturellement de l’ensemble des entiers naturels noté ou encore de l’ensemble des entiers relatifs . Notons que est « plus grand » que au sens où tout élément de est également un élément de , on dit alors que est inclus dans et on note .

On a aussi l’ensemble des fractions ou ensemble des rationnels (au sens que tout élément de est le ratio de deux nombres entiers), on a alors . La question qui se pose ensuite est de savoir s’il existe des nombres ne pouvant s’écrire comme une fraction.

Historiquement, l’exemple le plus connu de nombre irrationnel est , son irrationalité est connue de l’Antiquité grecque. En effet, considérons un carré de côté et traçons sa diagonale, le problème étant de déterminer la longueur de ladite diagonale.

Pythagore

Le théorème de Pythagore, déjà connu des Grecs, affirme que, en notant la longueur de la diagonale, alors , la question est de savoir quel est le nombre dont le carré vaut .

Historiquement, lorsque la connaissance de la racine carrée n’était pas acquise, ce fut un réel problème que de trouver un tel nombre, d’autant plus que les Grecs à cette époque ne connaissaient que les nombres rationnels.

La démonstration historique du fait que est irrationnel s’effectue par l’absurde. L’idée est de supposer le contraire de la conclusion de façon à aboutir à une absurdité, ainsi l’hypothèse de départ est fausse et son contraire est vraie, c’est à dire que la conclusion souhaitée est démontrée.

Supposons alors par l’absurde que soit rationnel et soient et deux entiers tels que soit une fraction irréductible, alors et en élevant au carré, il vient . Ainsi est paire puis est paire, il existe donc un entier tel que et en reportant dans l’égalité précédente, on a et par suite est paire, est paire. Il s’ensuit que, et étant tous les deux paires, la fraction n’est pas irréductible : on aboutit à une contradiction. Ainsi l’hypothèse de départ est fausse et son contraire est vrai : est irrationnel.

On définit ainsi l’ensemble des nombres réels, l’ensemble de tous les nombres que l’on peut placer sur une droite, en particulier est un élément de , on admettra aussi que est irrationnel de sorte que est dans . Notons enfin que, par exemple, est un élément de , mais également de , ou d’après les inclusions . On peut schématiser la situation de la façon suivante :

Ensembles

Bien sûr, tous les ensembles que nous avons vus sont infinis et il semble légitime de penser que est plus « grand » que au sens qu’il contient plus d’éléments. Notre premier pas va être de définir mathématiquement ce qu’est un ensemble fini.

Ensembles finis et dénombrables mathématiques

De façon intuitive, un ensemble est fini lorsqu’on peut compter son nombre d’éléments. Mathématiquement, on peut se demander se qu’est un « comptage » d’un ensemble. Il s’agit en fait d’une fonction dudit ensemble, notons le , dans un ensemble fini de la forme où est alors le nombre d’éléments de , mathématiquement le nombre d’éléments d’un ensemble fini s’appelle son cardinal.

Cette fonction de comptage doit être telle qu’on ne compte pas deux fois le même élément, on dit mathématiquement qu’elle est injective, et que l’on compte chaque élément par , autrement dit le comptage ne peut être , on dira que est surjective. La fonction de comptage étant à la fois injective et surjective, on dit alors qu’elle est bijective.

Finalement, un ensemble est fini si et seulement si on peut le compter si et seulement si il existe une bijection (une fonction de comptage) de dans un ensemble , dans ce cas est le cardinal de .

On peut aussi, parmi les ensembles infinis en maths, différencier les ensembles dénombrables de ceux qui ne le sont pas : un ensemble dénombrable est tel qu’on peut l’énumérer. Un ensemble dénombrable peut donc, comme les ensembles finis, être compté, la différence avec les ensembles finis réside dans le fait que l’énumération des éléments de cet ensemble est infinie.

Par exemple, est dénombrable puisqu’on peut l’énumérer, en effet . De même l’ensemble des nombres pairs est dénombrable car est égal à . Nous le verrons plus tard, il existe des ensembles non dénombrables qui ne peuvent donc être énumérés.

De façon plus formelle, énumérer un ensemble revient à associer à tout élément de un unique entier naturel (de façon analogue aux ensembles finis) et, étant l’ensemble dénombrable par nature, on dit qu’un ensemble est dénombrable s’il existe une bijection entre et .

 

Nature des ensembles usuels en maths

Revenons aux ensembles usuels présentés en premier lieu, il est immédiat que est dénombrable, il l’est par nature. On peut naturellement penser que est dénombrable puisqu’on peut l’énumérer de la façon suivante : .

En utilisant la définition de la dénombrabilité, il faut donc exhiber une bijection entre et . Considérons l’application définie sur par :

• si est pair, alors on pose (qui est entier puisque est pair)

• si est impair, alors on pose (qui est également entier car est impair)

L’application est alors bien définie, elle est injective car deux éléments distincts ne peuvent avoir la même image par et elle est enfin surjective puisque si est un élément dans , alors si est positif, et si est négatif. Ainsi est bijective et est dénombrable.

Quand est-il de l’ensemble des fractions ? La façon la plus simple de définir l’ensemble est :


Puisque et sont dénombrables, alors le produit cartésien (constitué des couples avec dans et dans ) est également dénombrable. De la définition de il s’ensuit que l’application définie sur par est surjective (tout élément de admet un antécédent par ).

Cela ne suffit pas à affirmer que est dénombrable puisque n’est pas injective (donc pas bijective), en effet on a par exemple . Il nous faut alors l’unicité de l’écriture d’un rationnel en tant que fraction, on pense alors aux fractions irréductibles.

On définit l’ensemble par :


Il s’ensuit par unicité d’écriture que l’application définie comme précédemment mais sur est bijective et, étant dénombrable (c’est un sous-ensemble de lui même dénombrable), alors est dénombrable.

Aussi étonnant que cela puisse paraître, il y a autant d’entiers que de fractions en maths. On peut encore se demander si l’ensemble des réels est dénombrable et, compte-tenu du gigantesque nombre d’irrationnels parmi les réels, on se doute que n’est pas dénombrable.

Cantor en a publié la démonstration de la non-dénombrabilité de à l’aide de l’argument de la diagonale : supposons par l’absurde que soit dénombrable et considérons une énumération de sous la forme . On écrit tous les éléments de en binaire de sorte qu’ils ne soient composés que de et de .

On va construire un élément de la façon suivante : pour tout dans , le -ième chiffre de est un si le -ième chiffre du -ième réel est un , et un si le -ième chiffre du -ième réel est un . Par exemple, si les trois premiers réels s’écrivent en binaire sous la forme alors s’écrira en binaire sous la forme .

On construit ainsi un réel qui diffère de tous les précédents par construction puisque le premier chiffre de n’est pas le premier chiffre de , le second diffère du seconde chiffre de etc… Ceci étant impossible, alors ne saurait être dénombrable.

 

Vers les théorèmes d’incomplétude en maths

Nous avons vu que l’ensemble des nombres réels n’est pas dénombrable, il existe donc au moins deux types d’infinis en maths et Cantor a montré qu’il en existe une infinité.

En effet, si est un ensemble, fini ou non, et l’ensemble des sous-ensembles de , alors est strictement plus « grand » que car il n’existe pas de bijection de dans .

Supposons par l’absurde qu’il existe une bijection de dans et soit l’ensemble définie par . Puisque est un sous-ensemble de et que est bijective, il existe un élément de tel que . Par suite, si alors par définition de , or donc ce qui est absurde. Si maintenant alors de même par définition, or donc ce qui est absurde. Dans les deux cas on aboutit à une contradiction donc il ne peut exister de bijection entre et .

Ainsi il existe une infinité d’infinis différents en maths et est strictement plus « grand » que et on peut alors se demander s’il existe un ensemble qui soit intermédiaire, entre l’ensemble des entiers naturels et l’ensemble des réels.

Cantor pensait que non mais n’a jamais réussi à le démontrer si bien que la démonstration de ce résultat figurait en première position parmi les problèmes de Hilbert inaugurés en . Ce résultat se nomme l’hypothèse du continu et est à ce jour, ni démontrée ni réfutée.

Par ailleurs, Cohen et Gödel ont démontré que ce résultat n’est ni vrai ni faux, ni démontrable ni réfutable. Le premier théorème d’incomplétude de Gödel stipule qu’une théorie qui permet de démontrer les théorèmes de base de l’arithmétique est nécessairement incomplète au sens où il existe des énoncés de maths qui ne sont ni démontrables, ni réfutables.

Il existe plusieurs théories axiomatiques à ce jour, notamment les théories ZF et ZFC développées par Zermelo et Fraenkel, la seconde est la théorie ZF à laquelle on a ajouté l’axiome du choix. Cohen a démontré en que l’hypothèse du continu et l’axiome du choix ne se déduisaient pas de la théorie ZF.

Capsules éducatives – Page d’accueil – Mentions légales – Facebook